Bewegungsgleichung für ein Elektron

Um einzelne Elektronen zu beschreiben, benutzt man Wellenpakete. Genauso wie man für freie Elektronen eine Superposition von ebenen Wellen verwendet, greifen wir im periodischen Potential des Kristalls auf eine Überlagerung von Bloch-Wellen zurück. Um einen halbwegs definierten k-Vektor zu haben, soll die Impulsunschärfe wesentlich kleiner sein als die Ausdehnung der ersten Brillenzone, d.h. im Ortsraum erstreckt sich die Welle über mehrere Elementarzellen.

Man erhält,wie in den GUTEN Büchern zur Festkörperphysik (wie z.B. dem Kittel) hergeleitet wird, die

Bewegungsgleichung

$\hbar \frac{d \vec{k}}{dt}=\vec{F}$

für den Wellenvektor k einer solchen Welle im Kristall bei einer äußeren Kraft F.

F enthält dabei sowohl die elektrische Kraft durch ein Feld als auch die Lorentzkraft in einem Magnetfeld.

Eine Verbindung zur klassischen Bewegungsgleichung F=ma wird hergestellt durch die sogenannte

effektive Masse

Betrachten wir dazu zunächst folgenden Zusammenhang: Eine WF der Energie E hat die Frequenz $\omega =E/ \hbar$. Für die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich damit

$v_g=d \omega /dk= \frac{1}{\hbar} dE/dk$ bzw. $\vec{v_g}= \frac{1}{\hbar} \nabla_k E(\vec{k})$.

Leiten wir nun die Gruppengeschwindigkeit ab, so erhalten wir unter Ausnutzung der Bewegungsgleichung

$\frac{dv_g}{dt}=\frac{1}{\hbar} \frac{d^2 E}{dk \, dt}=\frac{1}{\hbar} \frac{d^2 E}{d^2k} \frac{dk}{dt}=\frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E}{d^2k} F$

bzw.

$F=\hbar^2 \left( \frac{d^2E}{d^2k} \right)^{-1}\frac{dv_g}{dt} = m^*a$

mit der effektiven Masse $m^*=\hbar^2 \left( \frac{d^2E}{d^2k} \right)^{-1}$.

Im Falle einer nicht-isotropen Energiefläche wird die effektive Masse zum Tensor.

zur effektiven Masse m*

Interpretation: Das Elektron bewegt sich also in einem periodischen Potential so, als ob es die Masse m* hätte. Die Beschleunigung der Kristallelektronen verläuft dabei nicht notwendigerweise in Richtung der Kraft, sie kann auch in die entgegengesetze zeigen.

Die Erklärung hierzu liegt in der Braggreflexion des als Welle aufgefassten Elektrons am Gitter. Je näher der Wellenvektor des Elektrons k an die Brillenzonengrenze rückt, desto größer ist der Reflexionsanteil am Gitter. Direkt an der Grenze ist dieser sogar genausogroß wie der nach vorwärts gerichtete Teil, sodass die Welle stehend wird (Dispersionsrelation waagrecht, Gruppengeschwindigkeit verschwindet).

Im Bild rechts sieht man, dass die effektive Masse anwächst (da auch der reflektierte Anteil anwächst), unendlich wird (genau an dem Punkt, an dem der durch die Kraft F hervorgerufenene Übergang $k \Rightarrow k+ \Delta k$ zur Folge hat, dass der reflektierte Anteil im gleichen Maße wächst wie der der Anteil in Vorwärtsrichtung, effektiv also keine Beschleunigung des Elektrons erfolgt) und schließlich sogar negativ wird, wenn die Reflexionswelle scneller wächst als die in Vorwärtsrichtung laufende, das Elektron also effektiv in die entgegengesetzte Kraftrichtung beschleunigt wird.

Blochoszillationen

Unsere bisherigen Überlegungen führen zu dem komisch anmutenden Ergebnis, dass die Leitfähigfähigkeit idealer Metalle bei T=0 verschwindet:

Ein Elektrisches Feld E führt zu der Kraft e*E auf ein Elektron. Gemäß unserer Bewegungsgleichung wird dadurch eine gleichmäßige Bewegung der Elektronen im k-Raum induziert. Damit ändert sich auch die Gruppengeschwindigkeit periodisch, woraus eine oszillatorische Bewegung der Elektronen resultiert (siehe Bild). Dies bedeutet jedoch, dass die Elektronen in einem idealen Kristall bei T=0 stoßfreie Bloch-Oszillationen ausführen würden.

Für die Periodendauer berechnet man aus der Bewegungsgleichung

$\tau = \frac{\mathrm{Ausdehnung \, Brillenzone}}{Geschwindigkeit \, im \, k-Raum}=\frac{2 \pi /a}{e E/ \hbar}$